Программа минимальных моделей

Основная идея теории заключается в упрощении бирациональной классификации многообразий путём нахождения в каждом классе бирациональной эквивалентности многообразия, которое «так просто, насколько это возможно». Точное значение этой фразы развивается вместе с развитием самой теории. Первоначально для поверхностей это значило нахождение гладкого многообразия ${\displaystyle X}$, для которого любой бирациональный морфизм ${\displaystyle f:X\rightarrow X'}$ с гладкой поверхностью ${\displaystyle X'}$ является изоморфизмом.

В современной формулировке целью теории является следующее. Предположим, что нам задано проективное многообразие ${\displaystyle X}$, которое, для простоты, предполагается несингулярным. Возможны два варианта:

• Если ${\displaystyle X}$ имеет размерность Кодаиры ${\displaystyle \kappa (X,K_{X})=-\infty }$, мы хотим найти многообразие ${\displaystyle X^{\prime }}$, бирациональное к ${\displaystyle X}$, и морфизм ${\displaystyle f:X'\rightarrow Y}$ в проективное многообразие ${\displaystyle Y}$, такое, что ${\displaystyle \mathrm {dim} Y<\mathrm {dim} X^{\prime }}$, с антиканоническим классом ${\displaystyle -K_{F}}$ слоя общего вида ${\displaystyle F}$, являющегося обильным. Такой морфизм называется пространством расслоения Фано.
• Если ${\displaystyle \kappa (X,K_{X})}$ не меньше 0, мы хотим найти ${\displaystyle X'}$, бирациональное ${\displaystyle X}$ с каноническим неф-классом ${\displaystyle K_{X^{\prime }}}$. В этом случае ${\displaystyle X'}$ является минимальной моделью для ${\displaystyle X}$.

Вопрос о несингулярности многообразий ${\displaystyle X'}$ и ${\displaystyle X}$, приведённых выше, является важным. Выглядит естественной надежда, что если мы начинаем с гладкого ${\displaystyle X}$, мы всегда найдём минимальную модель или пространство расслоения Фано внутри категории гладких многообразий. Однако это неверно, так что становится необходимым рассмотрение сингулярных многообразий. Возникающие сингулярности называются терминальными сингулярностями.

Любая неприводимая комплексная алгебраическая кривая является бирациональной к единственной гладкой проективной кривой, так что теория для кривых тривиальна. Случай поверхности был сначала исследован итальянцами в конце девятнадцатого — начале двадцатого века. Теорема о стягивании Кастельнуово, по существу, описывает процесс построения минимальной модели любой гладкой поверхности. Теорема утверждает, что любой нетривиальный бирациональный морфизм ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$должен стягивать −1-кривую в гладкую точку, и наоборот, любая такая кривая может быть гладко стянута. Здесь −1-кривая является гладкой рациональной кривой C с самопересечением C.C = −1. Любая такая кривая должна иметь K.C=−1, что показывает, что если канонический класс является неф-классом, то поверхность не имеет −1-кривых.

Из теоремы Кастельнуово следует, что для построения минимальной модели для гладкой поверхности, мы просто стягиваем все −1-кривые на поверхности, и результирующее многообразие Y либо является (единственной) минимальной моделью с неф-классом K, либо линейчатой поверхностью (которая является такой же, как и 2-мерное пространство расслоения Фано, и является либо проективной плоскостью, либо линейчатой поверхностью над кривой). Во втором случае линейчатая поверхность, бирациональная к X, не единственна, хотя существует единственная поверхность, изоморфная произведению проективной прямой и кривой.

В размерностях, больших 2, вовлекается более мощная теория. В частности, существуют гладкие многообразия ${\displaystyle X}$, которые не бирациональны любому гладкому многообразию ${\displaystyle X'}$ с каноническим неф-классом. Главное концептуальное продвижение 1970-х и ранних 1980-х годов — построение минимальных моделей остаётся возможным с тщательным описанием возможных сингулярностей моделей. (Например, мы хотим понять, является ли ${\displaystyle K_{X'}}$ неф-классом, так что число пересечений ${\displaystyle K_{X'}{\cdot }C}$ должно быть определено. Следовательно, по крайней мере, наши многообразия должны иметь ${\displaystyle nK_{X'}}$ дивизор Картье для некоторого положительного числа ${\displaystyle n}$.)

Первым ключевым результатом является теорема о конусах Мори, которая описывает структуру конуса кривых ${\displaystyle X}$. Коротко, теорема показывает, что начиная с ${\displaystyle X}$, можно по индукции построить последовательность многообразий ${\displaystyle X_{i}}$, каждое из которых «ближе», чем предыдущее к неф-классу ${\displaystyle K_{X_{i}}}$. Однако процесс может встретить трудности — в некоторой точке многообразие ${\displaystyle X_{i}}$ может стать «слишком сингулярным». Гипотетическое решение этой проблемы — перестройка, вид хирургии коразмерности 2 на ${\displaystyle X_{i}}$. Неясно, существует ли требуемая перестройка, или что процесс всегда прервётся (то есть что достигнем минимальную модель ${\displaystyle X'}$ за конечное число шагов.) Мори[1] показал, что перестройки существуют в 3-мерном случае.

Существование более общих логперестроек установил Шокуров[2] для размерностей три и четыре. Впоследствии это обобщили для более высоких размерностей Биркар, Каскини, Хэкон, и Маккернан, опираясь на более ранние работы Шокурова, Хэкона и Маккернана. Они поставили также некоторые другие задачи, включая обобщение лог-канонических колец и существование минимальных моделей для лог-многообразий общего вида.

Задача обрыва лог-перестроек в пространствах большей размерности остаётся объектом активного исследования.