Проблема якобиана

Рассмотрим набор полиномов ${\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3},...f_{N}\in C[X_{1},X_{2},...,X_{N}]}$ (1) (принадлежащих множеству всех многочленов с комплексными коэффициентами от переменных ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{N}}$). Предположим, что система уравнений ${\displaystyle f_{1}=b_{1},f_{2}=b_{2},...,f_{N}=b_{N}}$ имеет единственное решение ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{N})\in C^{N}}$ для любого набора ${\displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{N})\in C^{N}}$ (принадлежащего множеству комплексных чисел), причём существуют такие многочлены ${\displaystyle g_{1},g_{2},g_{3},...g_{N}\in C[X_{1},X_{2},...,X_{N}]}$, что каждое ${\displaystyle a_{i}=g_{i}(b_{1},b_{2},...,b_{N})}$. Предполагается, что многочлены ${\displaystyle g_{1},g_{2},g_{3},...g_{N}}$ не зависят от набора свободных членов ${\displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{N})\in C^{N}}$. Это эквивалентно тому, что каждый многочлен из ${\displaystyle C[X_{1},X_{2},...,X_{N}]}$ однозначно представляется в виде многочлена от ${\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3},...f_{N}}$ (и от ${\displaystyle g_{1},g_{2},g_{3},...g_{N}}$). Система (1) задаёт полиномиальное отображение ${\displaystyle f:C^{N}\rightarrow C^{N}}$, при котором ${\displaystyle f(a_{1},...,a_{N})=(f_{1}(a_{1},...,a_{N}),f_{2}(a_{1},...,a_{N}),...,f_{N}(a_{1},...,a_{N}))=(b_{1},b_{2},...,b_{N})\in C^{N}}$ (2). Отображение ${\displaystyle f}$ является взаимно однозначным. Кроме того, обратное отображение ${\displaystyle f^{-1}}$, переводящее ${\displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{N})\in C^{N}}$ в ${\displaystyle f^{-1}(b_{1},...,b_{N})=(g_{1}(b_{1},...,b_{N}),g_{2}(b_{1},...,b_{N}),...,g_{N}(b_{1},...,b_{N}))=(a_{1},a_{2},...,a_{N})\in C^{N}}$ также является полиномиальным. Сопоставим произвольному полиномиальному отображению вида (2) квадратную матрицу (якобиан отображения ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle J(f)}$ размера ${\displaystyle N}$, в которой на месте ${\displaystyle (i,j)}$ стоит частная производная ${\displaystyle \partial f_{i}/\partial X_{J}}$. Зададим другое полиномиальное отображение ${\displaystyle h:C^{N}\rightarrow C^{N}}$ и ${\displaystyle fh}$ — их композиция (произведение). ${\displaystyle J(fh)=J(f)J(h)}$. Вычисляя определители, получаем, что ${\displaystyle \det(J(fh))=\det(J(f))\det(J(h))}$. В частности, если заданы полиномиальные отображения ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle f^{-1}}$, то их композиция является тождественным отображением. Поэтому единичная матрица ${\displaystyle E=J(fh)=J(f)J(h)}$, и, следовательно, ${\displaystyle \det(J(f))}$ является ненулевой константой.

Проблема якобиана состоит в решении обратной задачи. Пусть задано полиномиальное отображение ${\displaystyle f}$ вида (2), причем ${\displaystyle \det(J(f))}$ является ненулевой константой. Верно ли, что существует обратное полиномиальное отображение? Можно ли представить каждый многочлен из ${\displaystyle C[X_{1},X_{2},...,X_{N}]}$ в виде многочлена от ${\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{n}}$?

Проблема решена для случая, когда ${\displaystyle N=2}$ и степени ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ не выше 150, а также если ${\displaystyle N}$ любое, но степени всех многочленов ${\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{N}}$ не выше 2.[1] Кроме того, для доказательства общего утверждения, достаточно доказать его для случая, когда каждое ${\displaystyle f_{i}}$ является многочленом степени не выше 3[1].

1. В. А. Артамонов О решённых и открытых проблемах в теории многочленов // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 3, с. 110—113;