Принцип максимума модуля

Если ${\displaystyle f}$ голоморфна в некоторой области ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} ^{n}}$ и существует точка ${\displaystyle z_{0}\in G}$ такая, что во всей области ${\displaystyle G}$ выполняется неравенство ${\displaystyle |f(z_{0})|\geqslant |f(z)|}$, то ${\displaystyle f(z)\equiv \mathrm {const} }$.

Другими словами, модуль аналитической функции, отличной от константы, не может иметь локальных максимумов внутри области ${\displaystyle G}$.

• Принцип минимума модуля. Если ${\displaystyle f}$ аналитична в некоторой области ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} ^{n}}$, не обращается там в нуль, и существует точка ${\displaystyle z_{0}\in G}$ такая, что во всей области ${\displaystyle G}$ выполняется неравенство ${\displaystyle |f(z_{0})|\leqslant |f(z)|}$, то ${\displaystyle f(z)\equiv \mathrm {const} }$. (То есть локальные минимумы модуля аналитической функции, отличной от константы, могут достигаться только в тех точках, где она обращается в ноль.)
• Принцип максимума вещественной и мнимой части. Если для аналитической функции ${\displaystyle f(z)}$ в точке ${\displaystyle z_{0}\in G}$ достигается локальный максимум (минимум) у её вещественной (или мнимой) части, тогда функция ${\displaystyle f(z)}$ есть константа.

(Здесь используется обычный принцип максимума модуля для функций ${\displaystyle e^{f(z)}}$ и ${\displaystyle e^{if(z)}}$, а также равенство ${\displaystyle \left|e^{f(z)}\right|=e^{\mathrm {Re} \,f(z)}}$.)

• Пусть ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} ^{n}}$ — компактное подмножество. Для всякой функции ${\displaystyle f}$, непрерывной на ${\displaystyle K}$ и аналитичной внутри ${\displaystyle K}$, выполнено равенство:

${\displaystyle \|f\|_{K}=\|f\|_{\partial K}.}$

Если последовательность таких функций равномерно сходится на границе компакта ${\displaystyle K}$, тогда она сходится равномерно на всём ${\displaystyle K}$.