Пратт, Джон

Данная работа является Байесовской революцией в статистике, где статистика интегрируется с принятием решений в таких областях, как менеджмент, государственная политика, инженерия и клиническая медицина. В этой книге рассматриваются подходы, актуальные для принятия реальных решений в условиях неопределённости.[5]

В этой книге исследуются как непараметрические, так и общие статистические идеи путем разработки непараметрических процедур в простых ситуациях. Основная цель — дать читателю полное интуитивное понимание концепции, лежащих в основе непараметрических процедур и полное понимание их свойств и их характеристик. Отличается от большинства сборников по статистике тем, что в нее включены серьёзные и методолгические дискуссии. Особое внимание уделяется обсуждению сильных и слабых сторон различных статистических методов и подходов. Формат «теорема-доказательство» избегается, как правило свойства скорее «демонстрируются», чем «доказываются».[5]

Абсолютная мера Эрроу-Пратта равна производной логарифма предельной полезности по объему потребления с обратным знаком.[6]

${\displaystyle r_{a}(x)=-{\frac {U''(x)}{U'(x)}}=-{d\ln MU(x) \over dx}}$

Относительной мерой неприятия риска Эрроу-Пратта является эластичность предельной полезности по объему потребления (с обратным знаком)[7]

${\displaystyle r_{a}(x)=xr_{a}(x)=-x{\frac {U''(x)}{U'(x)}}}$

Мера Эрроу-Пратта инварианта относительно линейных преобразований и постоянна для линейных и экспоненциальных функций полезности.[8]

Теорема Пратта утверждает эквивалентность следующих трёх способов ранжирования неприятия риска.[6]

Рассмотрим двух потребителей, предпочтения которых характеризуются дважды непрерывно дифференцируемыми элементарными функциями полезности ${\displaystyle U_{1}(.)}$ и ${\displaystyle U_{2}(.)}$, такими что ${\displaystyle U'_{i}(x)>0}$ и ${\displaystyle U''_{i}(x)\leq 0}$ ${\displaystyle \forall x,i=1,2}$.[9]

Следующие три условия эквивалентны:

(i) ${\displaystyle r_{1}(x)\geq r_{2}(x)\forall x}$, где ${\displaystyle r_{i}(.)}$— мера неприятия риска Эрроу—Пратта, соответствующая ${\displaystyle U_{i}(.)}$.[9]

(ii) Существует вогнутая возрастающая функция ${\displaystyle G(.)}$ такая, что ${\displaystyle U_{1}(x)=G(U_{2}(x))\forall x}$.[9]

(iii) Для всех случайных переменных ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ с ненулевой дисперсией (${\displaystyle Var({\tilde {x}})\neq 0}$) выполнено ${\displaystyle \bigtriangleup x_{1}({\tilde {x}})\geq \bigtriangleup x_{2}({\tilde {x}})}$.[9]

В теореме предполагается дважды непрерывная дифференцируемость функций полезности со стандартными условиями положительности первой производной (предельной полезности) и неположительности второй (невозрастание предельной полезности, то есть вогнутость или выпуклость вверх функций полезности).[6]