Порядок Брухата
Порядок Брухата (он же строгий порядок, строгий порядок Брухата, порядок Шевалле, порядок Брухата–Шевалле, порядок Шевалле–Брухата) — это частичный порядок на элементах группы Коксетера, который соответствует порядку включения на многообразиях Шуберта.
История
Порядок Брухата на многообразиях Шуберта флагов многообразия или грасманиана первым изучал Эресманн[1], а аналог для более общих полупростых алгебраических групп изучал Шевалле[2]. Верма[3] начал комбинаторное изучение порядка Брухата на группе Вейля и ввёл название «порядок Брухата» ввиду связи с разложением Брухата.
Левые и правые слабые упорядочения Брухата изучал Бьёрнер[4].
Определение
Если (W,S) — система Коксетера с порождающими элементами S, то порядок Брухата является частичным порядком на группе W. Напомним, что приведённое слово для элемента w группы W — это выражение минимальной длины, состоящее из элементов S, а длина l(w) элемента w — это длина приведённого слова.
- При (строгом) порядке Брухата u≤v, если некоторая подстрока некоторого (или любого) приведённого слова для v является приведённым словом для u.
(Заметим, что здесь подстрока не предполагает последовательное расположение элементов.)
- При слабом левом порядке (Брухата) u≤Lv, если некоторая конечная подстрока (то есть подстрока, которой слово v кончается), некоторого приведённого слова для v является приведённым словом для u.
- При слабом правом порядке (Брухата) u≤Rv, если некоторая начальная подстрока (т.е. подстрока, с которой слово v начинается) некоторого приведённого слова для v является приведённым словом для u.
Более подробно о слабых порядка см. в статье «Слабый порядок перестановок».
Граф Брухата
Граф Брухата — это ориентированный граф, связанный со строгим порядком Брухата. Множеством вершин графа служат элементы группы Коксетера, а множество рёбер состоит из ориентированных рёбер (u, v), для которых u = t v для некоторого отражения t и l(u) < l(v). Можно рассматривать граф как ориентированный граф с помеченными рёбрами, где метки определяются отражениями. (Можно определить граф Брухата с умножением на t справа. Как граф, получим изоморфный объект, однако метки рёбер будут другими.)
Сильный порядок Брухата на симметричной группе (перестановок) имеет функцию Мёбиуса, задаваемую равенством и в этом случае частично упорядоченное множество будет эйлеровым, что означает, что функция Мёбиуса задаётся функцией ранга на частично упорядоченном множестве.
Примечания
Литература
- Anders Björner. Orderings of Coxeter groups // Combinatorics and algebra (Boulder, Colo., 1983) / Curtis Greene. — Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1984. — Т. 34. — С. 175–195. — (Contemp. Math.). — ISBN 978-0-8218-5029-9.
- Anders Björner, Francesco Brenti. Combinatorics of Coxeter groups. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005. — Т. 231. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-3-540-44238-7. — doi:10.1007/3-540-27596-7.
- C. Chevalley. Sur les décompositions cellulaires des espaces G/B // Algebraic groups and their generalizations: classical methods (University Park, PA, 1991) / William J. Haboush, Brian J. Parshall. — Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1958. — Т. 56. — С. 1–23. — (Proc. Sympos. Pure Math.). — ISBN 978-0-8218-1540-3.
- Charles Ehresmann. Sur la Topologie de Certains Espaces Homogènes (Fr) // Annals of Mathematics. — Annals of Mathematics, 1934. — Т. 35, вып. 2. — С. 396–443. — ISSN 0003-486X. — doi:10.2307/1968440. — .
- Daya-Nand Verma. Structure of certain induced representations of complex semisimple Lie algebras // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1968. — Т. 74. — С. 160–166. — ISSN 0002-9904. — doi:10.1090/S0002-9904-1968-11921-4.