Первичный идеал (алгебра)

Первичным идеалом полугруппы или кольца ${\displaystyle A}$ называется всякий идеал ${\displaystyle P}$ (не совпадающий с A), такой, что если два элемента ${\displaystyle a,b\in A}$ таковы, что ${\displaystyle \forall r\in A\ arb\in P}$, то либо ${\displaystyle a\in P}$, либо ${\displaystyle b\in P}$.

Следующие условия эквивалентны первичности идеала P ≠ R кольца R:

• Для любых a, b ∈ R, если (a)(b) ⊆ P, то a ∈ P or b ∈ P.
• Для любых правых идеалов A, B кольца R, если AB ⊆ P, то A ⊆ P or B ⊆ P.
• Для любых левых идеалов A, B кольца R, если AB ⊆ P, то A ⊆ P or B ⊆ P.
• Для любых a, b ∈ R, если aRb ⊆ P, то a ∈ P or b ∈ P.

Понятие первичного идеала кольца является обобщением понятия простого идеала кольца. В случае коммутативных колец оба понятия совпадают.

• Простой идеал
• Примарный идеал

• Ламбек И. Кольца и модули. — 3-е изд. — М.: Мир, 1971. — 278 с.