Отражающая функция Мироненко

Пусть ${\displaystyle \varphi (t;t_{0},x)}$ есть общее решение в форме Коши системы дифференциальных уравнений ${\displaystyle {\dot {x}}=X(t,x),}$ решения которой однозначно определяются своими начальными данными. Отражающая функция этой системы определяется формулой ${\displaystyle F(t,x)=\varphi (-t;t,x).}$

Для ${\displaystyle 2\omega }$-периодической по переменной ${\displaystyle t}$ системы дифференциальных уравнений с отражающей функцией ${\displaystyle F(t,x)}$ отображение ${\displaystyle \Pi (x)}$ за период ${\displaystyle [-\omega$ ;\omega ]} (отображение Пуанкаре) находится по формуле ${\displaystyle \Pi (x)=F(-\omega ,x).}$ Поэтому знание отражающей функции позволяет находить начальные данные ${\displaystyle (\omega ,x_{0})}$ для ${\displaystyle 2\omega }$-периодических решений ${\displaystyle \varphi (t;-\omega ,x_{0})}$ рассматриваемой системы и исследовать эти решения на устойчивость по Ляпунову. Отражающая функция ${\displaystyle F(t,x)}$ системы ${\displaystyle {\dot {x}}=X(t,x)}$ удовлетворяет так называемому основному соотношению

${\displaystyle F_{t}+F_{x}X+X(-t,F)=0,}$ ${\displaystyle F(0,x)=x.}$

С помощью этого соотношения устанавливается, что для многих неинтегрируемых в квадратурах систем дифференциальных уравнений отображение ${\displaystyle \Pi (x)}$ за период ${\displaystyle [-\omega$ ;\omega ]} может быть найдено даже через элементарные функции. В этом отражающая функция может быть сопоставлена с интегрирующим множителем.

Отражающая функция используется при исследовании вопросов существования и устойчивости периодических решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений.

• Отображение Пуанкаре

• Мироненко В. И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. — Минск, Университетское, 1986. — 76 с.
• Мироненко В. И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем. — Гомель: Мин. образов. РБ, ГГУ им. Ф. Скорины, 2004. — 196 с.

• Сайт об отражающей функции
• How to construct equivalent differential systems