Оптическая теорема

Асимптотический вид амплитуды рассеяния на больших расстояниях:

${\displaystyle \psi \approx e^{ikr(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')}+{\frac {1}{r}}f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')e^{ikr},}$

где ${\displaystyle \mathbf {n} }$ — направление падения частиц, ${\displaystyle \mathbf {n} '}$ — направление рассеяния.

Любая линейная комбинация функций ${\displaystyle \psi }$ с различными направлениями падения также представляет некий возможный процесс рассеяния. Умножив ${\displaystyle \psi }$ на произвольные коэффициенты ${\displaystyle F(\mathbf {n} )}$ и проинтегрировав по всем направлениям ${\displaystyle \mathbf {n} }$, получим такую линейную комбинацию в виде интеграла

${\displaystyle \int F(\mathbf {n} )e^{ikr(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')}\,d\Omega +{\frac {e^{ikr}}{r}}\int F(\mathbf {n} )f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')\,d\Omega .}$

Поскольку расстояние ${\displaystyle r}$ велико, то множитель ${\displaystyle e^{ikr(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')}}$ в первом интеграле является быстро осциллирующей функцией направления переменного вектора ${\displaystyle \mathbf {n} }$. Значение интеграла определяется потому в основном областями вблизи тех значений ${\displaystyle \mathbf {n} }$, при которых показатель экспоненты имеет экстремум (${\displaystyle \mathbf {n} \pm \mathbf {n} '}$). В каждой из этих областей множитель ${\displaystyle F(\mathbf {n} )\approx F(\pm \mathbf {n} ')}$ можно вынести за знак интеграла, после чего интегрирование даёт

${\displaystyle 2\pi iF(-\mathbf {n} '){\frac {e^{-ikr}}{kr}}-2\pi iF(\mathbf {n} '){\frac {e^{ikr}}{kr}}+{\frac {e^{ikr}}{r}}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')F(\mathbf {n} )\,d\Omega .}$

Перепишем это выражение в более компактном виде, опустив общий множитель ${\displaystyle 2\pi i/k}$:

${\displaystyle {\frac {e^{-ikr}}{r}}F(-\mathbf {n} ')-{\frac {e^{ikr}}{r}}{\hat {S}}F(\mathbf {n} '),}$

где

${\displaystyle {\hat {S}}=1+2ik{\hat {f}},}$

а ${\displaystyle {\hat {f}}}$ — интегральный оператор:

${\displaystyle {\hat {f}}F(\mathbf {n} ')={\frac {1}{4\pi }}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')F(\mathbf {n} )\,d\Omega .}$

Первый член волновой функции описывает сходящуюся к центру, а второй — расходящуюся от центра волну. Сохранение числа частиц при упругом рассеянии выражается равенством полных потоков частиц в сходящихся и расходящихся волнах. Другими словами, эти волны должны иметь одинаковую нормировку. Для этого оператор рассеяния ${\displaystyle {\hat {S}}}$ должен быть унитарным, то есть

${\displaystyle {\hat {S}}{\hat {S}}^{+}={\hat {1}},}$

или (с учётом выражения для ${\displaystyle {\hat {S}}}$):

${\displaystyle {\hat {f}}-{\hat {f}}^{+}=2ik{\hat {f}}{\hat {f}}^{+}.}$

Наконец, учитывая определение ${\displaystyle {\hat {f}}}$, получаем утверждение теоремы:

${\displaystyle f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')-f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} )={\frac {ik}{2\pi }}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} '')\,d\Omega ''.}$

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.