Оптическая теорема
Оптическая теорема — соотношение в волновой теории рассеяния, связывающее амплитуду рассеяния и сечение рассеяния .
Оптическая теорема формулируется следующим образом:
где — амплитуда рассеяния вперёд, — полное сечение рассеяния, — волновой вектор падающей волны. Так как теорема является следствием закона сохранения энергии (в квантовой механике — вероятности), то она является довольно общим утверждением, имеющим широкую область применения.
Более общий вид теоремы:
Доказательство
Асимптотический вид амплитуды рассеяния на больших расстояниях:
где — направление падения частиц, — направление рассеяния.
Любая линейная комбинация функций с различными направлениями падения также представляет некий возможный процесс рассеяния. Умножив на произвольные коэффициенты и проинтегрировав по всем направлениям , получим такую линейную комбинацию в виде интеграла
Поскольку расстояние велико, то множитель в первом интеграле является быстро осциллирующей функцией направления переменного вектора . Значение интеграла определяется потому в основном областями вблизи тех значений , при которых показатель экспоненты имеет экстремум (). В каждой из этих областей множитель можно вынести за знак интеграла, после чего интегрирование даёт
Перепишем это выражение в более компактном виде, опустив общий множитель :
где
а — интегральный оператор:
Первый член волновой функции описывает сходящуюся к центру, а второй — расходящуюся от центра волну. Сохранение числа частиц при упругом рассеянии выражается равенством полных потоков частиц в сходящихся и расходящихся волнах. Другими словами, эти волны должны иметь одинаковую нормировку. Для этого оператор рассеяния должен быть унитарным, то есть
или (с учётом выражения для ):
Наконец, учитывая определение , получаем утверждение теоремы:
Литература
- Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.