Оптимальный приём сигналов

Допустим, что в принятом сигнале ${\displaystyle r(t)}$ может присутствовать или отсутствовать сигнал ${\displaystyle s(t,\lambda )}$, то есть принимаемый сигнал ${\displaystyle r(t)}$ равен[1]${\displaystyle r(t)=\alpha s(t,\lambda )+n(t)}$, где случайная величина ${\displaystyle \alpha }$ может принимать значения 0 (сигнал отсутствует) или 1 (сигнал присутствует); ${\displaystyle s(t,\lambda )}$ — наблюдаемый на интервале наблюдения [0, T] детерминированный сигнал. При решении задачи обнаружении сигнала необходимо определить наличие сигнала ${\displaystyle s(t,\lambda )}$ в ${\displaystyle r(t)}$, то есть оценить значение параметра ${\displaystyle \alpha }$. При этом возможны два варианта. Априорные данные — вероятности ${\displaystyle p_{p}}$${\displaystyle _{r}(t,\alpha =0)}$ и ${\displaystyle p_{p}}$${\displaystyle _{r}(t,\alpha =1)}$ — могут быть известны или нет.

Сформулированная задача обнаружения сигнала является частным случаем общей задачи статистической проверки гипотез[1]. Гипотезу об отсутствии сигнала будем обозначать ${\displaystyle H_{0}}$, а гипотезу о наличии сигнала — ${\displaystyle H_{1}}$.

Если априорные вероятности ${\displaystyle P_{pr}(H_{0})}$ и ${\displaystyle P_{pr}(H_{1})}$ известны, то можно использовать критерий минимума среднего риска (байесовский критерий) ${\displaystyle R}$:

${\displaystyle R=\sum _{i,k=0}^{1}P_{pr}(H_{i})Q_{ik}\int \limits _{X_{k}}W(x|H_{i})dx}$,

где {${\displaystyle Q_{ik}}$} — матрица потерь, а ${\displaystyle W(x|H_{i})}$ — функция правдоподобия выборки наблюдаемых данных, если предполагается истинность гипотезы ${\displaystyle H_{i}}$.

В этом случае, если априорные вероятности ${\displaystyle P_{pr}(H_{0})}$ и ${\displaystyle P_{pr}(H_{1})}$ неизвестны, то с пороговым значением ${\displaystyle h_{0}}$ сравнивается отношение правдоподобия ${\displaystyle l_{0}}$:

${\displaystyle l_{0}={\frac {F(r|H_{1})}{F(r|H_{0})}}=exp({\frac {2}{N}}\int \limits _{0}^{T}r(t)s(t)dt-E/N)}$,

где E — энергия сигнала, а N — односторонняя спектральная плотность гауссовского аддитивного белого шума. Если ${\displaystyle l_{0}>h_{0}}$, то принимаете гипотеза о наличии сигнала, иначе о его отсутствии на интервале наблюдения [${\displaystyle 0,T}$].

Если априорные вероятности ${\displaystyle P(H_{0})}$ и ${\displaystyle P(H_{1})}$ известны, то решение о наличии сигнала принимается на основе сравнения отношения апостериорных вероятностей ${\displaystyle l_{1}}$ с некоторым пороговым значением ${\displaystyle h_{1}}$[1] :

${\displaystyle l_{1}={\frac {P_{ps}(H_{1})}{P_{ps}(H_{0})}}={\frac {P_{pr}(H_{1})}{P_{pr}(H_{0})}}exp({\frac {2}{N}}\int \limits _{0}^{T}r(t)s(t)dt-E/N)}$.

Если ${\displaystyle l_{1}>h_{1}}$, то принимаете гипотеза о наличии сигнала, иначе о его отсутствии на интервале наблюдения [${\displaystyle 0,T}$].

Задача обнаружения часто встречается в радиолокации и других областях радиотехники.

Допустим, что в принятом сигнале ${\displaystyle r(t)}$ может присутствовать только один из двух сигналов ${\displaystyle s_{1}(t,\lambda _{1})}$ и ${\displaystyle s_{2}(t,\lambda _{2})}$ , то есть принимаемый сигнал ${\displaystyle r(t)}$ равен[1]

${\displaystyle r(t)=\alpha s_{1}(t,\lambda _{1})+(1-\alpha )s_{2}(t,\lambda _{2})+n(t)}$,

где ${\displaystyle \alpha }$ — случайная величина, которая может принимать значения 1 или 0. Если ${\displaystyle \alpha =1}$ , то в ${\displaystyle r(t)}$ с вероятностью ${\displaystyle p_{1}}$ присутствует сигнал ${\displaystyle s_{1}(t,\lambda _{1})}$ ; если ${\displaystyle \alpha }$=0 , то в ${\displaystyle r(t)}$ с вероятностью ${\displaystyle p_{2}}$ присутствует сигнал ${\displaystyle s_{2}(t,\lambda _{2})}$. В данном случае оценка параметра ${\displaystyle \alpha }$ является задачей различения двух сигналов. Задача различения более двух сигналов может быть сформулирована аналогично.

Если все кроме одного сигнала нулевые, то задача различения сигналов сводится к задаче обнаружения сигнала.

Задача различения сигналов часто встречается в радиосвязи и других областях радиотехники.

Если параметр сигнала ${\displaystyle \lambda }$ — случайная величина с априорной плотностью вероятности, то задачей оценки параметра сигнала[1] является определение значения этого параметра с наименьшей погрешностью. Если требуется оценить несколько параметров сигнала, то такая задача называется совместной оценкой параметров сигнала.

Оценка параметров сигнала часто возникает в радиолокации, радионавигация и других областях радиотехники.

Если параметр сигнала ${\displaystyle \lambda }$ случайно меняется на интервале наблюдения и является информационным сообщением ${\displaystyle \lambda (t)}$, то есть случайным процессом с известными статистическими характеристиками, то задачей фильтрации является определение ${\displaystyle \lambda (t)}$ с наименьшей погрешностью. В общем случае информационных сообщений может быть несколько.

Задача фильтрации часто возникает в радиосвязи и телеметрии.

Задача разрешения сигналов подразумевает одновременное наличие в аддитивной смеси двух или более сигналов, разделяющих один и тот же частотный и временной ресурс. Разрешением в данных условиях будет называться оценка дискретных и непрерывных параметров каждого из сигналов, входящих в смесь.

При распознавании образов[1] выявляется принадлежность рассматриваемого объекта (предмета, явления, сигнала и др.) к одному из заранее известных классов.