Негафибоначчи

В математике, числа негафибоначчи — отрицательно индексированные элементы последовательности чисел Фибоначчи.

Числа негафибоначчи определяются индуктивно следующим рекуррентным соотношением:

  • F−1 = 1,
  • F−2 = -1,
  • Fn = F(n+2)−F(n+1).

Они также могут быть определены по формуле F−n = (−1)n+1Fn.

Первые 10 чисел последовательности негаФибоначчи:

n F(n)
−1 1
−2 −1
−3 2
−4 −3
−5 5
−6 −8
−7 13
−8 −21
−9 34
−10 −55

Целочисленное представление

Любое целое число может быть уникально представлено — согласно работе Дональда Кнута[1] — как сумма чисел негаФибоначчи, в которых не используются никакие два последовательных числа негаФибоначчи. Например:

  • −11 = F−4 + F−6 = (-3) + (-8)
  • 12 = F−2 + F−7 = (-1) + 13
  • 24 = F−1 + F−4 + F−6 + F−9 = 1 + (-3) + (-8) + 34
  • −43 = F−2 + F−7 + F−10 = (-1) + 13 + (-55)
  • 0 представлен пустой суммой.

Примечательно, что 0 = F−1 + F−2, например, таким образом, уникальность представления действительно находится в зависимости от условия неиспользования каких-либо двух последовательных чисел негаФибоначчи.

Это позволяет системе кодирования негаФибоначчи кодировать целые числа, подобных представлению теоремы Цеккендорфа для перекодировки чисел с применением двоичного представления. В последовательности, представляющей целое число x, n th, цифра 1, если Fn появляется в сумме, которая представляет x; та цифра отлична от 0. Например, число 24 может быть представлено последовательностью 100101001, у которого есть цифра 1 в местах 9, 6, 4, и 1, потому что 24 = F−1 + F−4 + F−6 + F−9. Целое число x представлено последовательностью нечётной длины тогда и только тогда, когда .

Тождества

Отношения к нормальной, положительной последовательности чисел Фибоначчи:

Примечания
  1. «Числа негаФибоначчи и гиперболический самолёт» (доклад, представленный на ежегодной встрече Математической Ассоциации Америки, Гостиница Фермонт, Сан Хосе, Калифорния, 2008-12-11)
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.