Натуральные уравнения
Натуральные уравнения — соотношения на кривизну и кручение бирегулярных кривых. Замечательное свойство натуральных уравнений в том, что по ним можно однозначно восстановить кривую. Натуральные уравнения, уравнения, выражающие кривизну и кручение кривой как функции её дуги: , . Наименование «Натуральные уравнения» объясняется тем обстоятельством, что функции и не зависят от положения кривой в пространстве (от выбора системы координат), а зависят только от формы кривой. Две трижды непрерывно дифференцируемые кривые, имеющие одинаковые натуральные уравнения, могут отличаться друг от друга только положением в пространстве. Иначе говоря, форма кривой однозначно определяется её натуральными уравнениями. Если заданы две непрерывные функции и , из которых первая положительная, то всегда существует кривая, для которой данные функции являются соответственно кривизной и кручением.
Натуральные уравнения плоских кривых
Пусть — произвольная гладкая функция. В таком случае существует кривая , единственная с точностью до сохраняющего ориентацию движения плоскости, параметризованная натуральным параметром и такая, что во всех точках кривой. Здесь величина — ориентированная кривизна кривой .
Натуральные уравнения в трехмерном пространстве
Пусть и — две произвольные гладкие функции, причём положительна. Тогда существует кривая , параметризованная натуральным параметром , кривизна и кручение которой равны в каждой точке и соответственно. Такая кривая единственна с точностью до движения пространства, сохраняющего ориентацию.
