М-оценки

Оценки максимального правдоподобия (ОМП) определяются одним из следующих условий:

где в случае негруппированной выборки , а в случае группированной —

М-оценки — есть некое обобщение ОМП. Они определяются аналогично одним из соотношений:

Если наложить условие регулярности в подстановке и продифференцировать его по в 0:

то не представляет большого труда получить выражение функции влияния для M-оценок:

Указанное выражение позволяет сделать вывод о том, что M-оценки эквивалентны с точностью до ненулевого множителя-константы.

Пример функций влияния для усечённых ОМП параметров сдвига (син.) и параметра масштаба (красн.) стандартного нормального закона распределения.

Несложно проверить, что для ОМП стандартного нормального закона распределения функции влияния параметра сдвига и параметра масштаба выглядят соответственно:

Эти функции неограничены, а это значит, что ОМП не является робастной в терминах B-робастности.

Для того, чтобы это исправить, M-оценки искусственно ограничивают, а значит и ограничивают её (см. выражение для M-оценок), устанавливая верхний барьер на влияние резко выделяющихся (далеко отстоящих от предполагаемых значений параметров) наблюдений. Делается это введением так называемых усечённых M-оценок, определяемых выражением:

где , и  — оценки параметров сдвига и масштаба соответственно.

Среди усечённых M-оценок оптимальными с точки зрения B-робастности являются усечённые ОМП.

См. также

Робастность в статистике

Источники

  • Robert G. Staudte: Robust estimation and testing. Wiley, New York 1990. ISBN 0-471-85547-2
  • Rand R. Wilcox: Introduction to robust estimation and hypothesis testing. Academic Press, San Diego Cal 1997. ISBN 0-12-751545-3
    This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.