Модель Салеха-Валенсуэлы

Модель Салеха—Валенсуэлы описывает распространение сверхкороткого импульса, который представляется дельта-функцией Дирака δ(t), в ограниченном замкнутом пространстве (например, в офисном помещении). Импульс может попасть из передатчика в приёмник различными путями — либо по прямой линии (если передатчик непосредственно наблюдаем из точки приёма), либо отражаясь от различных объектов, возможно неоднократно. В результате сигнал, поступающий в приёмник, представляет собой совокупность большого количества различным образом расположенных по оси времени коротких импульсов разной амплитуды. Данный процесс аналогичен реверберации звуковых волн в помещении — короткий звуковой импульс, многократно отражаясь от твёрдых поверхностей, так же формирует множество эхо-сигналов.

Измерения, проведённые в 1987 году Аделем Салехом и Рейнальдо Валенсуэлой [1] показали, что импульсы поступают группами, которые в модели называются «кластерами». Каждый кластер состоит из некоторого числа импульсов, которые в модели называются «лучами» или «путями». Кластер можно физически интерпретировать как отражение от какого-либо объекта, а лучи — как отражения от близко расположенных друг от друга частей этого объекта, включая неровности и шероховатости поверхностей.

Таким образом, принимаемый сигнал представляет собой пачки импульсов (которые могут пересекаться во времени), причём каждая последующая пачка среднестатистически имеет меньшую амплитуду, чем предыдущая, а каждый отдельный импульс в пачке — меньшую амплитуду по сравнению с предыдущим импульсом этой пачки. Уменьшение амплитуды проявляется чисто статистически, так как амплитуда и задержка каждого импульса представляют собой случайную величину.

Импульсная переходная функция канала передачи информации представляет собой совокупность большого числа дельта-функций различной амплитуды:

${\displaystyle h(t)=\sum \limits _{l=0}^{\infty }\sum \limits _{k=0}^{\infty }\beta _{kl}\delta (t-T_{l}-\tau _{kl}),}$

где

${\displaystyle l}$ — номер кластера, для первого кластера l=0;

${\displaystyle k}$ — номер импульса в кластере, для первого импульса в кластере k=0;

${\displaystyle \beta _{kl}}$ — амплитуда k-го импульса в l-м кластере;

${\displaystyle T_{l}}$ — задержка l-го кластера (по первому импульсу) относительно передаваемого импульса;

${\displaystyle \tau _{kl}}$ — задержка k-го импульса в l-м кластере относительно первого импульса кластера.

Амплитуда импульса в кластере представляет собой случайную величину, математическое ожидание квадрата которой падает по экспоненциальному закону по времени прихода кластера и времени прихода импульса относительно начала кластера:

${\displaystyle {\overline {\beta _{kl}^{2}}}={\overline {\beta _{00}^{2}}}e^{-\Lambda \mathrm {T} _{l}}e^{-\lambda \tau _{kl}},}$

где

${\displaystyle {\overline {\beta _{00}^{2}}}}$ — мат. ожидание квадрата амплитуды первого импульса в первом кластере.

Временная последовательность импульсов представляет собой двойной пуассоновский процесс: по Пуассону распределены временные задержки кластеров относительно предыдущего кластера и задержки импульсов в кластере относительно предыдущего импульса в кластере. Иными словами, функция распределения времени между соседними кластерами и соседними импульсами задаётся выражениями

${\displaystyle p(\Delta \mathrm {T} )=\Lambda e^{-\Lambda \cdot \Delta \mathrm {T} };}$

${\displaystyle p(\Delta \tau )=\lambda e^{-\lambda \cdot \Delta \tau }.}$

Qiyue Zou, Alireza Tarighat, Ali H. Sayed, Fellow. IEEEPerformance Analysis of Multiband OFDM UWB Communications With Application to Range Improvement. IEEE TRANSACTIONS ON VEHICULAR TECHNOLOGY, VOL. 56, NO. 6, NOVEMBER 2007.