Модель Алонсо

Уильям Алонсо в 1964 году в работе «Расположение и землепользование. К общей теории земельной ренты»[2] разработал модель земельного рынка в городе и его пригородах на основе модели Тюнена, предложенной ещё в 1826 году, адаптировал её к рынку городской земли (по аналогии с сельской). В городе, как и в селе, идёт конкуренция за землю между различными видами её применения: офисы, магазины, жильё[3].

Модель включает в себя допущения модели Тюнена, а также ряд специфических допущений[4]:

• Город представляется как центральный деловой район (ЦДР), вокруг которого расселяются рабочие.
• Имеется совершенная конкуренция между землепользователями за доступ к наиболее доступным землям.
• Государство не включается в данную модель.
• Транспорт всегда доступен по всему городу, транспортные расходы рассчитываются через функцию расстояния между местами в городе.
• Предпочтения фирм и домохозяйств определяются функцией ставки аренды, которая показывает готовность платить за расположение относительно центра города в форме концентрических колец землепользования.
• Первоначально дома и здания бедных находятся на самой окраине города, так как это является единственным местом, которое они могут себе позволить, при этом малообеспеченные семьи могут жертвовать большей жилой площадью в целях расширения доступа к занятости.

Многие домохозяйства предпочитают компромисс между доступностью к ЦДР и возможностью купить больше земли за те же деньги на окраинах городов, где ставка аренды ниже, в связи с чем увеличивается спрос и цена на землю в пригородах больших городов. Формируется субурбанизация, при которой границы города расширяются, а плотность населения снижается. У. Алонсо считал, что перемещение населения из города связан с ростом доходов и расширением транспортной инфраструктуры. Увеличение доходов вызывает рост спроса на размер участка, а снижение транспортных издержек снижает предпочтения домохозяйств жить ближе к центру[3].

Доход домохозяйств расходуется на транспортные издержки, на арендные платежи по земле и на остальные товары:

${\displaystyle y=z+P(t)q+k(t)}$,

где ${\displaystyle y}$ — доход домохозяйств, ${\displaystyle k(t)}$ — параболическая функция транспортных издержек, которая по мере удаления от центра будет медленно увеличиваться, а по достижению определенной точки темп рост увеличится, а ${\displaystyle t}$ — это расстояние до центра города, ${\displaystyle P(t)q}$ — расходы на землю, где ${\displaystyle q}$ — площадь земли, ${\displaystyle P(t)}$ — гиперболическая функция арендных платежей за единицу площади, которая снижается по мере удаления от центра, ${\displaystyle z}$ — расходы на остальные товары и услуги, которые при небольшом удалении от центра будут расти за счет экономии от арендных платежей даже за минусом незначительном увеличении транспортных издержек, а при значительном удалении потребление прочих товаров будет снижаться для компенсации транспортных издержек[3].

В модели допускается, что домохозяйства посещают центр города, а само посещение доставляет им дискомфорт (отрицательную предельную полезность), тогда, чтобы полезность оставалось постоянной, площадь земельного участка увеличивается при фиксированных расходах на другие товары, функция ${\displaystyle q(t)}$ — вогнута. Если расстояние до центра фиксировано, то функция ${\displaystyle q(t)}$ гиперболична, то есть размер участка и расходы на остальное потребление ведут себе как обычные товары заменители, если размер участка фиксирован, то дискомфорт компенсируется потреблением дополнительного объема остальных товаров. При этом ${\displaystyle qP(t)>k(t)}$, то есть при удалении от центра экономия на арендных платежах превышает транспортные издержки на сумму компенсации за дискомфорт. Функция ставки аренды (Bid-price) для домохозяйств показывает ренту, которую готовы платить домохозяйства при заданном уровне полезности и разном удалении от города при минимизации расходов[3]:

${\displaystyle p_{z}z+p_{i}(t)q+k(t)}$ → min по (z,q,t) при ${\displaystyle u(z,q,t)=u_{0}}$,

где ${\displaystyle P_{i}(t)}$ — функция ставки аренды домохозяйства ${\displaystyle i}$ при полном расходовании дохода ${\displaystyle y}$.

Модель Алонсо

Условия оптимума:

${\displaystyle u_{q}/u_{z}=p_{i}(t)/p_{z}}$,

${\displaystyle u_{t}/u_{z}=(qp_{it}(t)+k_{t}(t))/p_{z}}$.

Отсюда, предельная норма замещения размера участка ${\displaystyle q}$ товаром ${\displaystyle z}$ равна отношению их цен, а предельная норма замещения удаленности от центра ${\displaystyle t}$ товарам ${\displaystyle z}$ равна отношению предельного изменения издержек на землю и транспорт к цене товара ${\displaystyle z}$. Наклон функции ${\displaystyle P_{i}(t)}$, готовность платить за землю уменьшается с удалением от города при фиксированном доходе и уровне полезности, равен

${\displaystyle P_{it}(t)=P_{z/q}*{u_{t}/u_{z}}-1/q*{k_{t}(t)}}$<0.

На графике «Модель Алонсо» граница города указывается рентой, равной функции сельской ренты, и самая плоская функция соответствует размещению фермерским домохозяйств с минимальным ценой на землю. Ближе к центру уже размещаются домохозяйства, формируя жилую зону, а следующая по значению угла наклона кривой функции ставки аренды, это офисные помещения. В центре размещаются только магазины. Каждая из кривой функции ставки аренды также задаёт размер участка, который займет домохозяйство при заданном расстоянии до центра и цене на землю[3].

Равновесие фирмы в модели Алонсо

Для фирм также строится кривая ставки аренды (ВРС), максимизируя прибыль:

${\displaystyle G=V-C-R}$,

где ${\displaystyle G}$ — прибыль, ${\displaystyle V=V_{t,q}}$ — выручка, отрицательно зависящая от расстояния до центра ${\displaystyle t}$, и положительно от площади земли, ${\displaystyle C=C(V_{t,q})}$ — операционные расходы, зависящие от размера бизнеса, то есть выручки, от расстояния до центра и размера участка земли, ${\displaystyle R=P(t)q}$ — рента, равная произведению цены земли и площади участка.

Функция ставки аренды для фирм — кривая ВРС, вдоль которой прибыль фирмы остается неизменной, а для разных уровней прибыли существуют разные непересекающиеся функции ВРС1, ВРС2, ВРС3. При ВРС1 прибыль больше, чем при ВРС2 и ВРС3, так как при ВРС1 цена земли ниже при фиксированном расстоянии до центра. Фирма размещается в точке (Pc,tc) — в точке касания функции ВРС и кривой рыночной цены на землю ${\displaystyle P(t)}$, где максимизируется прибыль[3].

Модель позволяет исследовать размещение и плотность населения в городах. Так, рост средних доходов населения приводит к концентрации бедных слоёв населения в центральной части города, так как в связи с развитием НТП, развитием инфраструктуры, комфортностью поездок и расширением полезности проживания в больших площадях (коттеджах) дискомфорт стремится к нулю, а значит кривая ставки аренды для домохозяйств становится пологой. Цены в пригородах растут в связи с предпочтениями богатых жильцов, а цены в центре падают. Транспортная доступность начинает выступать как неполноценные блага, так как спрос на неё снижается с ростом дохода. Развивается процесс субурбанизации, определяющий в первую очередь снижение плотности населения, а не рост численности населения[3].

Дальнейшее развитие этой модели привело к возникновению нового направления исследований — экономики города[4].

Модель имеет ряд слабых мест. Во-первых, современные города имеют несколько центров, а модель Алонсо прежде всего моноцентрическая модель. Во-вторых, модель Алонсо предполагает значительно меньше перемещений по городу, чем наблюдается фактически. Кроме того, эта модель не объясняет наличие отрицательной зависимости между градиентом плотности и размером городов. Наконец, в модели совсем отсутствует функция предложения недвижимости[3].