Многосортная алгебра

Многосортной алгеброй называется упорядоченная пара ${\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},\Omega )}$, где элементы семейства множеств ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ называют сортами, а множество ${\displaystyle \Omega }$, называемое многосортной сигнатурой, состоит из многосортных операций - отображений вида ${\displaystyle \omega :A_{i_{1}}\times ...\times A_{i_{n}}\rightarrow A_{i_{0}}}$. Операцию ${\displaystyle \omega }$ называют при этом n-арной операцией типа ${\displaystyle (i_{0},i_{1},...i_{n})}$.

Рассмотрим в качестве примера многосортную алгебру ${\displaystyle (V_{3},R,+(1,1,1),\cdot (1,2,1),(\cdot )(2,1,1),\times (1,1,1),\circ (2,1,1,1))}$. В качестве первого сорта используется множество ${\displaystyle V_{3}}$ трехмерных свободных геометрических векторов, в качестве второго сорта - множество действительных чисел. Первая операция - бинарная операция ${\displaystyle +}$ сложения векторов. Результатом операции является вектор, аргументами - тоже векторы, поэтому она имеет тип ${\displaystyle (1,1,1)}$. Вторая операция - бинарная операция ${\displaystyle \cdot }$ левого умножения вектора на число. Результатом операции является вектор, первый аргумент- число, второй аргумент - вектор, поэтому она имеет тип ${\displaystyle (1,2,1)}$. Третья операция - бинарная операция ${\displaystyle (\cdot )}$ скалярного умножения векторов. Результатом операции является число, она имеет тип ${\displaystyle (2,1,1)}$. Четвертая операция - бинарная операция ${\displaystyle \times }$ векторного умножения векторов. Результатом операции является вектор, она имеет тип ${\displaystyle (1,1,1)}$. Пятая операция - тернарная операция ${\displaystyle \circ }$ смешанного умножения векторов. Результатом операции является число, она имеет тип ${\displaystyle (2,1,1,1)}$.

Любая алгебраическая система может быть описана как многосортная алгебра[2].

• Белоусов А. И., Ткачев С. Б. Дискретная математика. — М.: МГТУ, 2006. — 744 с. — ISBN 5-7038-2886-4.