Метод Чаплыгина

Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешённое относительно высшей производной:

${\displaystyle y^{(n)}-f(x,y,y',y'',...,y^{(n-1)})=0}$.

Тогда требуется найти две функции ${\displaystyle z=z(x)}$ и ${\displaystyle u=u(x)}$, равные искомому интегралу в точке ${\displaystyle x_{0}}$ и, на некотором прилегающем к этой точке участке, удовлетворяющие неравенству ${\displaystyle u<y<z}$. Можно сказать, что функции ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle u}$ совпадают со сторонами AB и AC криволинейного треугольника ABC (абсцисса точки A — ${\displaystyle x_{0}}$), внутри которого проходит функция ${\displaystyle y(x)}$, причём расстояние между B и C должно быть сравнительно невелико.

Требуется решить уравнение ${\displaystyle y'-f(x,y)=0}$, причём функция ${\displaystyle f(x,y)}$ удовлетворяет условию Липшица.

1. Найдём две функции ${\displaystyle z_{0}}$ и ${\displaystyle u_{0}}$ такие, что в точке ${\displaystyle x_{0}}$ они являются решениями уравнения и на некотором полуинтервале ${\displaystyle (x_{0},b]}$ выполняется:
   ${\displaystyle u_{0}'-f(x,u_{0})<0}$;
   ${\displaystyle z_{0}'-f(x,z_{0})>0}$.
   Эти функции будем считать первым приближением решения.
2. Пусть нам уже известно некоторое приближённое решение ${\displaystyle z_{i}}$ и ${\displaystyle u_{i}}$, тогда следующим приближением будут функции:
   ${\displaystyle h(x)=u_{i}'(x)-f(x,u_{i}(x))}$;
   ${\displaystyle u_{i+1}(x)=u_{i}(x)-\int _{x_{0}}^{x}{e^{-L(x-t)}h(t)dt}}$;
   ${\displaystyle g(x)=z_{i}'(x)-f(x,z_{i}(x))}$;
   ${\displaystyle z_{i+1}(x)=z_{i}(x)-\int _{x_{0}}^{x}{e^{-L(x-t)}g(t)dt}}$.
   Здесь L — константа Липшица для функции ${\displaystyle f(x,y)}$.
   
   Если дополнительно выполняется условие сохранения знака второй частной производной функции ${\displaystyle f(x,y)}$ по ${\displaystyle y}$ в области ${\displaystyle (x,y)\in ([x_{0},b],[u_{i}(x),z_{i}(x)])}$, то следующее приближение может быть найдено другим методом: построим две поверхности ${\displaystyle \Phi (x,y)}$ и ${\displaystyle \phi (x,y)}$, одна из которых образована прямыми, проходящими через точки пересечения ${\displaystyle f(x,y)}$ с ${\displaystyle u_{i}(x)}$ и ${\displaystyle z_{i}(x)}$ при фиксированном ${\displaystyle x}$, а вторая касательными к ней, проведёнными под минимальным углом к плоскости OXY параллельно оси OY, причём ${\displaystyle \Phi (x,y)\geqslant f(x,y)\geqslant \phi (x,y)}$. Тогда функции ${\displaystyle z_{i+1}}$ и ${\displaystyle u_{i+1}}$ могут быть получены путём решения двух линейных дифференциальных уравнений:
   ${\displaystyle z_{i+1}'=\Phi (x,z_{i+1})}$; ${\displaystyle u_{i+1}'=\phi (x,u_{i+1})}$

Метод Чаплыгина представляет собой обобщение метода Ньютона для решения ОДУ, следовательно, начиная с некоторого n, ${\displaystyle z_{n}-u_{n}\leqslant C/{2^{2^{n}}}}$.