Метод Крылова — Боголюбова

Метод Крылова-Боголюбова — метод получения приближённых аналитических решений нелинейных дифференциальных уравнений c малой нелинейностью.

Описание

Рассмотрим динамическую систему с малой нелинейностью[1]:

(1)

Здесь - вектор состояния системы с компонентами, - постоянная квадратная матрица, - малый параметр, - нелинейная вектор-функция от вектора состояния , малого параметра и времени .

При система превращается в линейную. Одно из её периодических решений можно записать в виде:

(2)

Здесь - произвольная постоянная, - собственный вектор матрицы , - одна из некратных собственных частот системы, - произвольная постоянная.

Решение системы (1) при ищем в виде ряда по степеням малого параметра :

(3)

Здесь - неизвестные вектор-функции и . и - медленно меняющаяся амплитуда и фаза, удовлетворяющие уравнениям:

(4)
(5)

Вычислим производную в виде ряда от , исходя из выражений (3, 4, 5):

(6)

Нелинейную часть уравнения (1) также представим в виде ряда по малому параметру:

(7)

где

Приравнивая в левой и правой частях уравнения (1) члены с одинаковыми степенями малого параметра , получаем систему уравнений для определения неизвестных функций из уравнения (3):

(8)
(9)

Разложим вектор-функции в ряды Фурье с медленно меняющимися коэффициентами:

(10)
(11)

Далее подставим (10), (11) в (8), (9) и приравняв коэффициенты при каждой гармонике в обеих частях уравнения, получим систему неоднородных уравнений относительно .

Для получения уравнений первого приближения из (8), (10), (11) составим уравнение для определения вектор-функции

(12)

Условие совместности системы (12) при имеет вид:

:  (13)

Разделяя в (13) действительную и мнимую части, находим:

(14)
(15)

Во втором приближении сначала найдем из системы уравнений (12) векторы . Учитывая, что при вектор определяется с точностью до произвольной постоянной, его можно представить в виде:

(16)

Затем подставим в систему уравнений (9) ряды (10), (11). С учетом (16) получим:

(17)

Из условия совместности системы уравнений (17) при можно определить и . Аналогично находятся члены третьего и более высоких приближений. В итоге получаем выражение для вектора состояния системы x

(18)

Здесь амплитуда и фаза удовлетворяют уравнениям (4), (5).

См. также

Примечания

  1. Гуляев, 1989, с. 102.

Литература

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.