Ловушка нищеты

Один из каналов влияния несовершенства рынка заёмных средств на благосостояние домохозяйств и возможности попадания отдельных династий в ловушку бедности описал в своей статье 2011 года Киминори Мацуяма[3], основываясь на модели развития отдельно взятой династии Галора-Зейра[4].

В модели рассматривается динамика богатства одного домохозяйства на протяжении бесконечного числа периодов. Время в модели дискретно ${\displaystyle (t=0,1,2,...)}$. В каждом поколении династию представляет один индивид, который живёт только на протяжении одного периода. В начале периода он получает от своего предшественника наследство в размере ${\displaystyle w_{t}\geq 0}$. Также в течение периода индивид получает доход ${\displaystyle y}$. В конце периода индивид распределяет всё своё накопленное богатство между собственным потреблением ${\displaystyle c_{t}}$и наследством для своего преемника ${\displaystyle w_{t+1}}$.

Распоряжаться своим унаследованным состоянием ${\displaystyle w_{t}}$индивид может 2 способами:

1. Вложиться в начале периода в долгосрочный инвестиционный проект стоимостью ${\displaystyle F}$, который в конце периода принесёт доход в размере ${\displaystyle R}$ (можно интерпретировать как стоимость образования и надбавка к зарплате в течение жизни за счёт наличия у индивида образования).
2. Вложить в банк сумму ${\displaystyle x_{t}\leq w_{t}}$в начале периода и получить в конце периода ${\displaystyle rx_{t}}$ (${\displaystyle r}$ — ставка процента + 1).

В первом случае индивид получает доход ${\displaystyle y+R}$, а если ${\displaystyle w_{t}>F}$, то оставшуюся часть он может положить на депозит (в противном случае он, наоборот, может взять кредит на недостающую сумму). То есть, вкладываясь в инвестиционный проект, к концу периода индивид в любом случае получит ${\displaystyle y+rw_{t}+(R-rF)}$. Если же индивид не будет вкладываться в инвестиционный проект и положит всё полученное наследство в банк, то к концу периода он будет иметь ${\displaystyle y+rw_{t}}$. Таким образом, мы получили условие прибыльности инвестиционного проекта: ${\displaystyle R\geq rF}$. Проще говоря, индивиду будет выгодно вкладываться в проект только при том условии, что он принесёт ему больше денег, чем альтернативная возможность положить сумму стоимости проекта в банк.

Несовершенство рынков заёмных средств в модель вводится в виде ограничения по заимствованиям: индивид не может занять сумму, превышающую долю ${\displaystyle \lambda }$ от дисконтированной выручки от проекта, то есть ${\displaystyle F-w_{t}\leq \lambda R/r}$. Таким образом, условие ограничения по заимствованиям для индивида имеет вид ${\displaystyle w_{t}\geq w_{c}\equiv F-\lambda R/r}$ (${\displaystyle w_{c}}$ — минимальный уровень богатства индивида, необходимый для участия в инвестиционном проекте).

При выполнении двух вышеприведённых условий агент будет инвестировать в проект.

В конце периода индивид будет распределять накопленное богатство, максимизируя функцию полезности вида Кобба-Дугласа: ${\displaystyle u=(c_{t})^{1-\beta }(w_{t+1})^{\beta }}$.

Решая оптимизационную задачу, мы получаем, что в наследство преемнику индивид будет оставлять долю ${\displaystyle \beta }$ от накопленного к концу периода богатства:

${\displaystyle w_{t+1}={\begin{cases}\beta (y+rw_{t}),&{\text{если }}w_{t}<w_{c}\equiv F-\lambda R/r,\\\beta [y+rw_{t}+(R-rF)],&{\text{если }}w_{t}\geq w_{c}\equiv F-\lambda R/r\end{cases}}}$

Полученную зависимость можно интерпретировать как зависимость размера наследства, которое индивид оставит преемнику, от размера наследства, которое он сам получил от предшественника. В такой ситуации ограничения по заимствованиям могут привести к ситуации, когда бедные семьи будут оставлять своим наследникам ещё меньше, и династия не сможет преодолеть ловушку бедности с течением времени.

Несовершенство рынка заёмных средств, проявляющееся в ограничении по заимствованию, может приводить к усилению неравенства из-за того, что бедные династии не смогут преодолеть ловушку бедности.