Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала

Трактат аль-Хорезми — важная веха развития арифметики и классической алгебры, науки о решении уравнений. Он на столетия определил характер алгебры как практической науки без аксиоматической основы. В трактате аль-Хорезми систематизировал и изложил два известных ему выдающихся достижения индийских математиков — арифметику в позиционной десятичной системе счисления и решение квадратного уравнения[2]. Эти результаты были получены Брахмагуптой и его предшественниками не позднее VII века. Но поскольку Европа познакомилась с этими достижениями по латинскому переводу XII века книги аль-Хорезми, начало развития современной европейской математики оказалось связанным с его книгой и его именем.

Трактат делится на три части:

• уравнения первой и второй степени с упражнениями;
• практическая тригонометрия;
• решения задач по распределению наследства.

В теоретической части своего трактата аль-Хорезми даёт классификацию уравнений 1-й и 2-й степени и выделяет шесть видов квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$:

• «квадрат» равен «корню» ${\displaystyle ax^{2}=bx}$;
• «квадрат» равен свободному члену ${\displaystyle ax^{2}=c}$;
• «корень» равен свободному члену ${\displaystyle bx=c}$;
• «квадрат» и «корень» равны свободному члену ${\displaystyle ax^{2}+bx=c}$;
• «квадрат» и свободный член равны «корню» ${\displaystyle ax^{2}+c=bx}$ ;
• «корень» и свободный член равны «квадрату» ${\displaystyle bx+c=ax^{2}}$.

Такая сложная классификация объясняется требованием, чтобы в обеих частях уравнения стояли положительные коэффициенты, и при этом аль-Хорезми искал только положительные корни.

Охарактеризовав каждый вид уравнений и показав на примерах правила их решения, аль-Хорезми даёт геометрическое доказательство этих правил для трёх последних видов, когда решение не сводится к простому извлечению корня.

Для приведения квадратно канонических видов аль-Хорезми вводит два действия. Первое из них, аль-джабр, состоит в перенесении отрицательного члена из одной части в другую для получения в обеих частях положительных членов. Второе действие — аль-мукабала — состоит в приведении подобных членов в обеих частях уравнения. Кроме того, аль-Хорезми вводит правило умножения многочленов. Применение всех этих действий и введённых выше правил он показывает на примере 40 задач.

Данные шесть типов уравнений на протяжении веков были «ядром» алгебры. Только в 1544 году Михаэлем Штифелем были допущены отрицательные коэффициенты, что позволило снизить количество типов уравнений.

Геометрическая часть

Геометрическая часть посвящена, в основном, измерению площадей и объёмов геометрических фигур.

Практическая часть

В практической части автор приводит примеры применения алгебраических методов в решении хозяйственно-бытовых задач, при измерении земель, строительстве каналов. В «главе о сделках» рассматривается правило для нахождения неизвестного члена пропорции по трём известным членам, а в «главе об измерении» — правила для вычисления площади различных многоугольников, приближённая формула для площади круга и формула объёма усечённой пирамиды. К нему присоединена также «Книга о завещаниях», посвящённая математическим задачам, возникающим при разделе наследства в соответствии с мусульманским каноническим правом.

Латинский перевод книги начинается словами «Dixit Algorizmi» (сказал Алгоризми). Так как сочинение об арифметике было очень популярно в Европе, то латинизированное имя автора (Algorizmi или Algorizmus) стало нарицательным и средневековые математики так называли арифметику, основанную на десятичной позиционной системе счисления. Позднее европейские математики стали называть так всякое вычисление по строго определённым правилам. В настоящее время термин алгоритм означает набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения результата решения задачи за конечное число действий.

Книга сохранилась в арабской копии и нескольких переводах на латынь.

• Алгебра
• История алгебры
• Математика исламского средневековья

• Muhammad ibn Musa Al-Khuwarazmi, Louis Charles Karpinski (Hrsg.): Robert of Chester’s Latin translation of the Algebra of al-Khowarizmi. With an introduction, critical notes and an English version. Macmillan, New York/London 1915 (University of Michigan Studies, Humanistic Series, XI.1)
• Статья: Термины, созданные нашими предками (автор: Искандер аль-Сергали) на сайте «Информационно-коммуникационные технологии Узбекистана»