Кинк (математика)

Кинк — это решение уравнений поля в некоторых теориях поля в измерениях, интерполирующее между двумя вакуумами при изменении пространственной координаты от до . Кинк является простейшим топологическим солитоном.

Кинк в модели одного действительного скалярного поля

Вид при .

Рассмотрим[1] теорию одного действительного скалярного поля в пространстве размерности с действием

где  — потенциал поля, , а

Действие инвариантно относительно дискретного преобразования ; эта симметрия спонтанно нарушается, так как классические вакуумы равны .

Из принципа наименьшего действия получается уравнение поля

Гиперболический тангенс — статическое решение уравнений поля при .

Будем искать статическое, то есть не зависящее от времени решение уравнений поля. В этом случае уравнение поля сводится к

где штрих обозначает производную по пространственной координате. Полученное уравнение имеет следующее решение:

где  — постоянная интегрирования. Данное решение и является простейшим статическим кинком, интерполирующим между вакуумами и при изменении пространственной координаты от до . Решение со знаком называется антикинком.

Свойства решения

Размер кинка имеет порядок величины , то есть порядок комптоновской длины волны элементарного возбуждения. Действительно, плотность энергии кинка

существенно отличается от нуля только в области .

Статическая энергия кинка равна

где  — масса элементарного возбуждения.

Полученное решение не инвариантно относительно пространственных трансляций и преобразований Лоренца. Однако эти преобразования переводят решения уравнений поля в другие решения. Применяя трансляции и преобразование Лоренца, получим следующее семейство нестатических решений:

где  — скорость движущегося кинка.

Кинк в модели одного комплексного скалярного поля

Рассмотрим[1] теорию одного комплексного скалярного поля в пространстве размерности с лагранжианом

Принцип наименьшего действия приводит к следующим уравнениям поля:

Полученные уравнения имеют решением кинк из теории действительного скалярного поля

Кинк в уравнении синус-Гордона

Кинк в уравнении синус-Гордона

Рассмотрим[1] теорию одного действительного скалярного поля в пространстве размерности с лагранжианом

Принцип наименьшего действия приводит к уравнению

Антикинк в уравнении синус-Гордона

которое заменой приводится к уравнению синус-Гордона

имеющему следующие частные решения[2], представляющие движущиеся со скоростью кинки, интерполирующие между вакуумами и при изменении от до :

где  — произвольная постоянная. Знак соответствует кинку, знак  — антикинку.

Примечания

    • Рубаков В.А. Классические калибровочные поля. Бозонные теории. М.: КомКнига, 2005. — С. 133—143. — 296 с.
    • Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — С. 144. — 432 с.

Литература

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.