Каналы утечки информации, передаваемой по оптическим линиям связи

Оптическое волокно представляет собой диэлектрический слоистый цилиндрический волновод, показатель преломления сердцевины которого (n₁) больше показателя преломления оболочки (n₂). Далее будем пользоваться цилиндрической системой координат (r, φ, z) и считать, что радиус сердцевины волновода равен a . Если n₂ и n₁ не зависят от координат, то в силу цилиндрической симметрии легко прийти к уравнениям на продольные поля E_z и H_z вида

${\displaystyle {{\partial ^{2}\Psi } \over {\partial r^{2}}}+{1 \over r}{{\partial \Psi } \over {\partial r}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}\Psi \over \partial \phi ^{2}}+K_{j}^{2}\Psi =0}$ ${\displaystyle \left(j=1,2\right)}$,

где ${\displaystyle K_{j}^{2}=n_{j}^{2}k^{2}-\beta ^{2}}$ и ${\displaystyle k}$ - волновое число света в вакууме ${\displaystyle \left(k=2\pi /\lambda \right)}$, ${\displaystyle \beta }$ - константа распространения волны в волноводе [8].
Решение уравнения дает [8] при r < a:
для моды, имеющей y-поляризацию (т. е. поперечное электрическое поле направлено вдоль оси y)

${\displaystyle E_{z}={{iA\kappa } \over {2\beta _{\nu }}}\left[J_{\nu +1}(\kappa r){\begin{Bmatrix}\sin(\nu +1)\phi \\-\cos(\nu +1)\phi \end{Bmatrix}}+J_{\nu -1}(\kappa r){\begin{Bmatrix}\sin(\nu -1)\phi \\-\cos(\nu -1)\phi \end{Bmatrix}}\right]}$

${\displaystyle H_{z}=-{{iA\kappa } \over {2k}}{\left({\varepsilon _{0} \over \mu _{0}}\right)}^{1 \over 2}\left[J_{\nu +1}(\kappa r){\begin{Bmatrix}\cos(\nu +1)\phi \\\sin(\nu +1)\phi \end{Bmatrix}}-J_{\nu -1}(\kappa r){\begin{Bmatrix}\cos(\nu -1)\phi \\\sin(\nu -1)\phi \end{Bmatrix}}\right]}$

${\displaystyle \left(\kappa =K_{1}\right)}$

${\displaystyle E_{y}=AJ_{\nu }(\kappa r){\begin{Bmatrix}\cos \nu \phi \\\sin \nu \phi \end{Bmatrix}}}$

${\displaystyle H_{x}=-nA{\beta _{\nu } \over \left|\beta _{\nu }\right|}{\left({\varepsilon _{0} \over \mu _{0}}\right)}^{1 \over 2}J_{\nu }(\kappa r){\begin{Bmatrix}\cos \nu \phi \\\sin \nu \phi \end{Bmatrix}}}$

для моды, имеющей x-поляризацию (т. е. поперечное электрическое поле направлено вдоль оси x)

${\displaystyle E_{z}={{iA\kappa } \over {2\beta _{\nu }}}\left[J_{\nu +1}(\kappa r){\begin{Bmatrix}\cos(\nu +1)\phi \\\sin(\nu +1)\phi \end{Bmatrix}}-J_{\nu -1}(\kappa r){\begin{Bmatrix}\cos(\nu -1)\phi \\\sin(\nu -1)\phi \end{Bmatrix}}\right]}$

${\displaystyle H_{z}={{iA\kappa } \over {2k}}{\left({\varepsilon _{0} \over \mu _{0}}\right)}^{1 \over 2}\left[J_{\nu +1}(\kappa r){\begin{Bmatrix}\sin(\nu +1)\phi \\-\cos(\nu +1)\phi \end{Bmatrix}}+J_{\nu -1}(\kappa r){\begin{Bmatrix}\sin(\nu -1)\phi \\-\cos(\nu -1)\phi \end{Bmatrix}}\right]}$

${\displaystyle \left(\kappa =K_{1}\right)}$

${\displaystyle E_{x}=AJ_{\nu }(\kappa r){\begin{Bmatrix}\cos \nu \phi \\\sin \nu \phi \end{Bmatrix}}}$

${\displaystyle H_{y}=nA{\beta _{\nu } \over \left|\beta _{\nu }\right|}{\left({\varepsilon _{0} \over \mu _{0}}\right)}^{1 \over 2}J_{\nu }(\kappa r){\begin{Bmatrix}\cos \nu \phi \\\sin \nu \phi \end{Bmatrix}}}$

Волокна можно разделить на два вида: одномодовые и многомодовые. В одномодовом волокне может распространяться только одна мода (HE₁₁), благодаря чему отсутствует межмодовое взаимодействие, что улучшает дисперсионные характеристики, необходимые для передачи сигнала на большие расстояния.

Качественное рассмотрение вопроса говорит о том, что если угол падения света на поверхность раздела сердцевины и оболочки волокна будет уменьшен и станет меньше критического угла, то свет начнет выходить из ядра и излучаться на месте изгиба. Более правильное объяснение состоит в том, что неоднородности в геометрии волокна, вызывают связывание нерадиационных (направляемых и радиационных (излучательных) мод. В результате чего ведомая мода теряет энергию и сигнал ослабевает. Далее излученный сигнал можно детектировать. Одна из возможностей осуществления этого метода — это изгиб волокна. Аналитическое решение этой задачи впервые было опубликовано D. Marcuse в 1976 году[9]. Пусть R — радиус изгиба оптоволокна, a — радиус ядра оптоволокна, тогда формула будет иметь вид:

${\displaystyle 2\alpha ={{\pi ^{1 \over 2}\kappa ^{2}\exp \left[-{2 \over 3}\left(\gamma ^{3}/\beta ^{2}\right)R\right]} \over {e_{\nu }\gamma ^{3 \over 2}V^{2}R^{1 \over 2}K_{\nu -1}(\gamma a)K_{\nu +1}(\gamma a)}}}$

левая часть равна отношению мощности излучаемой на изгибе ΔP, отнесенной к единице длины волокна, к полному потоку мощности, переносимом волокном, P:

${\displaystyle 2\alpha ={{\Delta P} \over P}}$

Параметры V, e_ν, γ определяются следующими выражениями:

${\displaystyle V^{2}=k^{2}a^{2}(n_{1}^{2}-n_{2}^{2})}$

${\displaystyle e_{\nu }={\begin{cases}2,&\nu =0\\1,&\nu \neq 0\end{cases}}}$

${\displaystyle {\gamma ^{2}=-K_{2}^{2}}}$

${\displaystyle K_{\nu }(\gamma a)}$ — модифицированная функция Хенкеля

K. S. Kaufman, R. Terras и R. F. Mathis развили метод Marcuse и использовали его для расчета потерь на изгибе многомодового волокна [10]. Более детальное рассмотрение потерь на изгибе было дано в статьях [11].