Звезда Миттаг-Леффлера

Звездой Миттаг-Леффлера $S_{f}(z_{0})$ для аналитической функции $f$ в точке $z_{0}$ (подразумевается, что $f$ аналитична в $z_{0}$ ), называется множество таких точек $a$ , что функция может быть продолжена аналитически вдоль отрезка ${\overline {z_{0}a}}$ .

Изображение звезды Миттаг-Леффлера (область, ограниченная синим контуром). Изначальный диск

U

имеет центр в точке

a

.

Основным свойством звезды $S_{f}$ является возможность разложения функции в функциональный ряд специального вида, сходящийся внутри этой области.

Теорема Миттаг-Леффлера о звезде

Предположим, что $f$ — аналитическая функция и $S_{f}(z_{0})$ — её звезда Миттаг-Леффлера. Тогда внутри этой звезды функция может быть представлена в виде сходящегося ряда многочленов вида

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{k_{n}}c_{m}^{(n)}{\frac {f^{(m)}(z_{0})}{m!}}(z-z_{0})^{m}$ ,

называемого разложением Миттаг-Леффлера, где коэффициенты $c_{m}^{(n)}$ и степени многочленов $k_{n}$ определяются однозначно.

См. также

Аналитическое продолжение

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.