Диофантова пятёрка

Диофантова пятёрка — гипотетическое множество из пяти положительных целых чисел ${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{5}\}}$, обладающих тем свойством, что всякое число ${\displaystyle a_{i}a_{j}+1}$ является квадратом[1]. По состоянию на 2014 год вопрос о существовании таких пятёрок является открытой проблемой.

Диофант нашёл четвёрку рациональных чисел:

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{16}},{\frac {33}{16}},{\frac {17}{4}},{\frac {105}{16}}\right\}}$,

которые обладают этим свойством в рациональном смысле (то есть, всякое ${\displaystyle a_{i}a_{j}+1}$ является рациональным квадратом). Позже было найдено множество из шести рациональных чисел, обладающих заданным свойством[2].

Пьер Ферма обнаружил четвёрку целых положительных чисел — ${\displaystyle \{1,3,8,120\}}$, обладающую заданным свойством[1]. Эйлер смог расширить это множество добавлением рационального числа:

${\displaystyle {\frac {777480}{8288641}}}$,

но положительное целое, сохраняющее заданное свойство, не может быть добавлено к этой четвёрке, что было доказано в 1969 году Бейкером (Baker) и Дэвенпортом (Davenport)[1].

В 2004 году хорватский математик Андрей Дуелла (Andrej Dujella) показал, что может существовать лишь конечное число диофантовых пятёрок[1].