Горизонт Киллинга

В пространстве-времени Минковского, в псевдодекартовых координатах ${\displaystyle (t,x,y,z)}$ с сигнатурой ${\displaystyle (+,-,-,-),}$ пример горизонта Киллинга представлен ускорением Лоренца (вектор Киллинга пространства-времени)

${\displaystyle V=x\,\partial _{t}+t\,\partial _{x}.}$

Площадь нормы ${\displaystyle V}$ равен

${\displaystyle g(V,V)=x^{2}-t^{2}=(x+t)(x-t).}$

Следовательно, ${\displaystyle V}$ имеет значение NULL только на гиперплоскостях уравнений

${\displaystyle x+t=0,{\text{ и }}x-t=0,}$

так, что вместе взятые, они являются горизонтами Киллинга, созданными ${\displaystyle V}$[2].

С горизонтом Киллинга связана геометрическая величина, известная как поверхностная гравитация, ${\displaystyle \kappa }$. Если поверхностная гравитация исчезает, горизонт Киллинга называется вырожденным.

Точные метрики чёрной дыры, такие как метрика Керра — Ньюмана, содержат горизонты Киллинга, которые совпадают с их эргосферой. Для этого пространства-времени горизонт Киллинга расположен в

${\displaystyle r=r_{e}:=M+{\sqrt {M^{2}-Q^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}.}$

В обычных координатах за пределами горизонта Киллинга поле ${\displaystyle \partial /\partial t}$ вектора Киллинга подобно времени, а внутри — подобно пространству. Температура излучения Хокинга связана с поверхностной гравитацией ${\displaystyle c^{2}\kappa }$ на ${\displaystyle T_{H}={\frac {\hbar c\kappa }{2\pi k_{B}}}}$ с :${\displaystyle k_{B}}$[3].

Пространство Де Ситтера имеет горизонт Киллинга радиуса ${\displaystyle r={\sqrt {3/\Lambda }}}$, который испускает тепловое излучение при температуре ${\displaystyle T=(1/2\pi ){\sqrt {\Lambda /3}}}$.