Гипотеза об одиноком бегуне

В теории игр, особенно при изучении диофантовых приближений, гипотеза об одиноком бегуне — это гипотеза, выдвинутая Уиллсом (J. M. Wills) в 1967. Приложения гипотезы широко представлены в математике, они включают задачи ограничения обзора[1] и вычисления хроматического числа дистанционных и циркулянтных графов[2]. Гипотеза получила образное имя благодаря Годдину (L. Goddyn) в 1998[3].

Пример гипотезы об одиноком бегуне с 6 бегущими

Гипотеза

Пусть k бегунов бегут по круговой дорожке единичной длины. В момент t = 0 все бегуны находились в одной точке и начали забег. Скорость бегунов попарно различна. Говорят, что бегун A одинок в момент t, если он находится на расстоянии по меньшей мере 1/k от всех остальных бегунов. Гипотеза утверждает, что каждый игрок будет одиноким в некоторый момент времени.[4]

Обычная формулировка задачи предполагает, что бегуны имеют скорости, выражаемые целыми числами, не делящимися на одно и то же простое число. Игрок, который должен быть одиноким, имеет нулевую скорость. Гипотеза утверждает, что если D – произвольный набор целых положительных чисел, который содержит ровно число, с наибольшим общим делителем равным 1, тогда

где означает расстояние от числа x до ближайшего целого.

Известные результаты
Нерешённые проблемы математики: Можно ли доказать гипотезу об одиноком бегуне для k≥8?
k год доказательства кем доказано замечания
1 - - тривиально: t = 0; для любого t
2 - - тривиально: t = 1 / (2 * (v1-v0))
3 - - Любое доказательство для k>3 также доказывает k=3
4 1972 Бетке и Виллс;[5] Кузик[6] -
5 1984 Кузик и Померанц;[7] Бьенья и др.[3] -
6 2001 Бохман, Хольцман, Кляйтман;[8] Рено[9] -
7 2008 Барайас и Серра[2] -

В 2011 году было доказано, что для достаточно большого количества бегунов с скоростями , если то гипотеза выполнена[10].

Замечания
  1. T. W. Cusick. View-Obstruction problems // Aequationes Math.. — 1973. — Т. 9, вып. 2—3. — С. 165—170. — doi:10.1007/BF01832623.
  2. J. Barajas and O. Serra. The lonely runner with seven runners // The Electronic Journal of Combinatorics. — 2008. — Т. 15. — С. R48.
  3. W. Bienia et al. Flows, view obstructions, and the lonely runner problem // Journal of combinatorial theory series B. — 1998. — Т. 72. — С. 1—9. — doi:10.1006/jctb.1997.1770.
  4. Стюарт, 2015, с. 407.
  5. Betke U., Wills J. M. Untere Schranken für zwei diophantische Approximations-Funktionen (нем.) // Monatshefte für Mathematik. — 1972. — Juni (Bd. 76, Nr. 3). — S. 214—217. — ISSN 0026-9255. — doi:10.1007/BF01322924.
  6. T. W. Cusick. View-obstruction problems in n-dimensional geometry // Journal of Combinatorial Theory, Series A. — 1974. — Т. 16, вып. 1. — С. 1—11. — doi:10.1016/0097-3165(74)90066-1.
  7. Cusick T.W., Pomerance Carl. View-obstruction problems, III (англ.) // Journal of Number Theory. — 1984. — October (vol. 19, no. 2). — P. 131—139. — ISSN 0022-314X. — doi:10.1016/0022-314X(84)90097-0.
  8. T. Bohman, R. Holzman, D. Kleitman. Six lonely runners // Electronic Journal of Combinatorics. — 2001. — Т. 8, вып. 2.
  9. Renault Jérôme. View-obstruction: a shorter proof for 6 lonely runners (англ.) // Discrete Mathematics. — 2004. — October (vol. 287, no. 1-3). — P. 93—101. — ISSN 0012-365X. — doi:10.1016/j.disc.2004.06.008.
  10. Dubickas, A. The lonely runner problem for many runners (неопр.) // Glasnik Matematicki. — 2011. — Т. 46. — С. 25—30. — doi:10.3336/gm.46.1.05.

Внешние ссылки

Литература
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.