Гипотеза ван дер Вардена

Гипотеза ван дер Вардена — доказанная математическая гипотеза о свойстве значений перманента дважды стохастической матрицы ${\displaystyle S}$ порядка ${\displaystyle n}$[1]:

${\displaystyle \mathrm {per} (S)\geqslant {\frac {n!}{n^{n}}}}$,

причём равенство выполняется в том и только том случае, когда все ${\displaystyle S}$ равны ${\displaystyle 1/n}$.

Высказана ван дер Варденом в 1926 году; на её доказательства многие годы были направлены усилия специалистов: гипотеза непосредственно проверена для ${\displaystyle n\leqslant 5}$, в 1959 году доказано, что если перманент на множестве всех дважды стохастических ${\displaystyle n}$-матриц достигает на некоторой матрице без нулевых элементов минимума, то он равен ${\displaystyle n!/n^{n}}$. Полностью доказана советскими математиками Георгием Егорычевым в 1980 году[2][3] (с применением неравенства Александрова — Фенхеля о смешанном объёме) и независимо Дмитрием Фаликманом в 1981 году[4] (также с использованием геометрических методов, работа представлена к публикации в 1979 году); за эти результаты оба учёных удостоены в 1982 году премии Фалкерсона.