Гипотеза Зарисского

Обозначим через ${\displaystyle \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{n}]}$ множество всех многочленов с комплексными коэффициентами от переменных ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$. Пусть в ${\displaystyle \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{n}]}$ выбрано подмножество ${\displaystyle A}$, содержащее все константы ${\displaystyle C}$ и обладающее следующими свойствами: если ${\displaystyle f,g\in A}$, то ${\displaystyle f-g}$ и ${\displaystyle fg}$ лежат в ${\displaystyle A}$. Предположим, что существует такой многочлен ${\displaystyle T\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...X_{m}]}$, что каждый элемент ${\displaystyle f}$ из ${\displaystyle \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...X_{m}]}$ представляется в виде многочлена ${\displaystyle f=a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+...+a_{m}T^{m},a_{0},a_{1},...a_{m}\in A,}$, где ${\displaystyle m}$ зависит от ${\displaystyle f}$. Гипотеза Зарисского утверждает, что найдутся такие многочлены ${\displaystyle T_{1},T_{2},...,T_{n-1}\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...X_{m}]}$, что каждый элемент ${\displaystyle f}$ из ${\displaystyle \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...X_{m}]}$ представляется в виде многочлена от ${\displaystyle T_{1},T_{2},...,T_{n-1},T}$. Гипотеза Зарисского доказана для ${\displaystyle n=2}$ и ${\displaystyle n=3}$. Для случая ${\displaystyle n>3}$ её никому доказать не удалось.

• В.А. Артамонов О решённых и открытых проблемах в теории многочленов. Соросовский образовательный журнал, т. 7, н. 3, 2001