Гигантская компонента

Гигантская компонента — эффект, возникающий в схемах случайного размещения частиц по ячейкам при неограниченном росте количества частиц. Эффект заключается в том, что почти все частицы (в процентном отношении) собираются в одной ячейке.

Рассмотрим обобщенную схему размещения n частиц по N ячейкам:

${\displaystyle \eta _{1}+\dots +\eta _{N}=n,\qquad (1)}$

Обозначим через ${\displaystyle \eta _{(1)}\leq \dots \leq \eta _{(N)}}$ вариационный ряд случайных величин ${\displaystyle \eta _{1},\dots ,\eta _{N}}$. Таким образом, ${\displaystyle \;\eta _{(N)}}$ — максимальная компонента схемы (или максимальное число частиц в одной ячейке), а ${\displaystyle \;\eta _{(N-1)}}$ — следующая по величине компонента.

Если при ${\displaystyle n\to \infty }$ случайная величина ${\displaystyle \;\eta _{(N)}/n}$ имеет предельное распределение, не имеющее накопления в нуле, а ${\displaystyle \;\eta _{(N-1)}/n}$ вырождается в ноль, то говорят, что в схеме размещения (1) возникает гигантская компонента.[1]

Известно, например, что в классической схеме размещения гигантской компоненты нет, а в логарифмической схеме, описывающей длины циклов в случайной подстановке, гигантская компонента возникает при ${\displaystyle n\to \infty }$ так, что ${\displaystyle \ln(n)/N\to \infty }$, то есть при условии, что параметр ${\displaystyle N}$ растет медленнее, чем ${\displaystyle \ln(n)}$.[2]