Векторная решётка

Ве́кторная решётка (${\displaystyle K}$-линеал, пространство Риса, в ранних русскоязычных источниках — также линейная структура) — вещественное или комплексное векторное пространство, наделённое структурой алгебраической решётки. Впервые рассмотрена Рисом в 1928 году, с использованием конструкций на её основе получены важные результаты в функциональном анализе.

Векторную решётку можно определить аксиоматически на векторном пространстве ${\displaystyle X}$ с произвольным выделенным подклассом элементов ${\displaystyle X_{+}\subset X}$, называемых положительными элементами (${\displaystyle 0\notin X_{+}}$), посредством введения отношения частичного порядка следующим образом: ${\displaystyle x>y\Leftrightarrow x-y\in X_{+}}$ (в этом случае ${\displaystyle x\in X_{+}\Rightarrow x>0}$), если при этом выполнены следующие условия:

• если ${\displaystyle x>0}$, то ${\displaystyle x\neq 0}$,
• если ${\displaystyle x>0}$ и ${\displaystyle y>0}$, то ${\displaystyle x+y>0}$
• для любых двух элементов ${\displaystyle x,y\in X}$ существует их супремум ${\displaystyle x\vee y}$,
• если ${\displaystyle x>0}$ и для элемента числового поля ${\displaystyle \lambda }$ выполнено ${\displaystyle \lambda >0}$, то ${\displaystyle \lambda x>0}$[1].

Всякая векторная решётка дистрибутивна[2].

Важное свойство в векторных решётках — представимость любого элемента ${\displaystyle x\in X}$ в виде разности двух положительных элементов ${\displaystyle x=x_{+}-x_{-}}$, где ${\displaystyle x_{+}=x\vee 0}$ называется положительной частью элемента ${\displaystyle x}$, а ${\displaystyle x_{-}=(-x)\vee 0}$ — его отрицательной частью. В этих терминах вводится также понятие модуля элемента следующим образом: ${\displaystyle |x|=x_{+}+x_{-}}$, причём всегда выполнено ${\displaystyle x\leqslant x_{+}\leqslant |x|}$. Для ограниченности множества ${\displaystyle U\in X}$ в векторной решётке необходима и достаточна ограниченность множества модулей его элементов ${\displaystyle U^{*}=\{|x|,\,x\in U\}}$[3].

Особый интерес в функциональном анализе представляют векторные решётки с дополнительной пространственной структурой, такие как банаховы решётки[4].