Аппроксимации эллиптических интегралов

Эллиптические интегралы не выражаются через элементарные функции. По определению, элементарные функции [1] — функции, определяемые формулами, содержащими конечное число алгебраических или тригонометрических операций, производимых над аргументом, функцией и некоторыми постоянными.

Эллиптические интегралы в лежандровой форме 1-го, 2-го и 3-го родов [1], а также интегралы, сходные с ними (с заменой знаков плюс на минус и/или с заменой cos на sin или наоборот) точно представимы функциональным рядом. Такое представление не является элементарной функцией ввиду бесконечного числа членов этого ряда.

Руководствуясь соображениями достижения необходимой точности и, взяв в расчёт n начальных членов ряда и пренебрегая остатком, то есть суммой остальных членов ряда от n+1 до ∞, получим аппроксимацию (определённого или неопределённого) эллиптического интеграла в виде элементарной функции. Аппроксимации эллиптических интегралов применяются аналогично обычным интегралам.

Определённый интеграл 1-го рода можно представить в виде:

Здесь и далее в формулах применяются следующие обозначения:

— расчётная относительная погрешность вычисления эллиптических интегралов по указанным формулам для эллипсов, подобных меридиональному земному (k2=0,006693 и h=0,006674).
— максимальная расчётная относительная погрешность соответствующей формулы в диапазоне углов
— число, указывающее, во сколько раз уменьшится максимальная расчётная относительная погрешность соответствующей формулы, если добавить неуказанных членов в её формулу разложения.

Определённый интеграл 2-го рода представи́м в виде:

Длина дуги эллипса с единичной большой полуосью:

Определённый интеграл 3-го рода можно записать в виде:

Пример

Для вычисления длины дуги геодезической линии на поверхности земного сфероида[2] требуется вычисление определённого интеграла вида:


См. также

Примечания

  1. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — М.: Наука, 1964.
  2. Мацевич М. И. Навигационные расчёты геодезических маршрутов. — М.: Информационный фонд ФГУП «ВНТИЦ», № 72200700019, 2007.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.