Алгоритм Бута

Алгоритм Бута включает в себя циклическое сложение одного из двух заранее установленных значений A и S с произведением P, а затем выполнение арифметического сдвига вправо над P. Пусть m и r — множимое и множитель соответственно, а x и y представляют собой количество битов в m и r.

1. Установить значения A и S, а также начальное значение P. Каждое из этих чисел должно иметь длину, равную (x + y + 1).
   1. A: Заполнить наиболее значимые (левые) биты значением m. Заполнить оставшиеся (y + 1) бит нулями.
   2. S: Заполнить наиболее значимые биты значением (−m) в дополнительном коде. Заполнить оставшиеся (y + 1) бит нулями.
   3. P: Заполнить наиболее значимые x бит нулями. Справа от них заполнить биты значением r. Записать 0 в крайний наименее значимый (правый) бит
2. Определить значение двух наименее значимых (правых) битов P и вычислить по ним значение для следующего шага:
   1. Если их значение равно 01, прибавить A к P. Переполнение игнорировать.
   2. Если их значение равно 10, прибавить S к P. Переполнение игнорировать.
   3. Если их значение равно 00, действие не требуется. P используется без изменений на следующем шаге.
   4. Если их значение равно 11, действие не требуется. P используется без изменений на следующем шаге.
3. Выполнить операцию арифметического сдвига над значением, полученным на втором шаге, на один бит вправо. Присвоить P это новое значение.
4. Повторить шаги 2 и 3 y раз.
5. Отбросить крайний наименее значимый (правый) бит P. Это и есть произведение m и r.

Вычислить 3 × (−4). В этом случае m = 3, r = −4, x = 4, y = 4:

• A = 0011 0000 0
• S = 1101 0000 0
• P = 0000 1100 0
• Выполним цикл 4 раза :
  1. P = 0000 1100 0. Крайние два бита равны 00.
     • P = 0000 0110 0. Арифметический сдвиг вправо.
  2. P = 0000 0110 0. Крайние два бита равны 00.
     • P = 0000 0011 0. Арифметический сдвиг вправо.
  3. P = 0000 0011 0. Крайние два бита равны 10.
     • P = 1101 0011 0. P = P + S.
     • P = 1110 1001 1. Арифметический сдвиг вправо.
  4. P = 1110 1001 1. Крайние два бита равны 11.
     • P = 1111 0100 1. Арифметический сдвиг вправо.
• Произведение равно 1111 0100 (−12 в десятичной системе)

Вышеупомянутой техники недостаточно, когда множимое является наибольшим по модулю отрицательным числом, которое может быть представлено в текущей разрядной сетке (например, если размер множимого 4 бита, то это значение равно −8). Один из возможных способов решить эту проблему — добавить один дополнительный бит слева от A, S и P. Ниже мы покажем усовершенствованную технику на примере умножения −8 на 2 используя по 4 бита под множимое и множитель:

• A = 1 1000 0000 0
• S = 0 1000 0000 0
• P = 0 0000 0010 0
• Выполним цикл 4 раза :
  1. P = 0 0000 0010 0. Крайние два бита равны 00.
     • P = 0 0000 0001 0. Арифметический сдвиг вправо.
  2. P = 0 0000 0001 0. Крайние два бита равны 10.
     • P = 0 1000 0001 0. P = P + S.
     • P = 0 0100 0000 1. Арифметический сдвиг вправо.
  3. P = 0 0100 0000 1. Крайние два бита равны 01.
     • P = 1 1100 0000 1. P = P + A.
     • P = 1 1110 0000 0. Арифметический сдвиг вправо.
  4. P = 1 1110 0000 0. Крайние два бита равны 00.
     • P = 1 1111 0000 0. Арифметический сдвиг вправо.
• После отбрасывания крайних бит, получаем значение произведения: 11110000 (−16 в десятичной системе).

Рассмотрим положительный множитель, состоящий из блока единиц, окружённых нулями, например 00111110. Произведение определяется по формуле :

${\displaystyle M\times \,^{\prime \prime }0\;0\;1\;1\;1\;1\;1\;0\,^{\prime \prime }=M\times (2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2^{1})=M\times 62}$

где M — множимое. Количество операций может быть уменьшено вдвое, если представить произведение следующим образом :

${\displaystyle M\times \,^{\prime \prime }0\;1\;0\;0\;0\;0{\mbox{-1}}\;0\,^{\prime \prime }=M\times (2^{6}-2^{1})=M\times 62.}$

На самом деле, можно показать, что любая последовательность единиц в двоичном числе может быть разбита на разность двух двоичных чисел:

${\displaystyle (\ldots 0\overbrace {1\ldots 1} ^{n}0\ldots )_{2}\equiv (\ldots 1\overbrace {0\ldots 0} ^{n}0\ldots )_{2}-(\ldots 0\overbrace {0\ldots 1} ^{n}0\ldots )_{2}.}$

Таким образом, мы действительно можем заменить операцию умножения на последовательность единиц в исходном числе более простыми операциями: сложение со множителем, сдвиг частичного произведения, вычитание множителя. Алгоритм использует тот факт, что нам не нужно делать ничего кроме сдвига, когда очередной разряд в двоичном множителе равен нулю, а также простое математическое свойство: 99 = 100 − 1 при умножении на 99.

Эта схема может быть распространена на любое количество блоков единиц в множителе (включая случай одной единицы в блоке). Таким образом,

${\displaystyle M\times \,^{\prime \prime }0\;0\;1\;1\;1\;0\;1\;0\,^{\prime \prime }=M\times (2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{1})=M\times 58}$

${\displaystyle M\times \,^{\prime \prime }0\;1\;0\;0{\mbox{-1}}\;0\;1\;0\,^{\prime \prime }=M\times (2^{6}-2^{3}+2^{1})=M\times 58.}$

Алгоритм Бута следует этой схеме путём выполнения сложения, когда встречается первая цифра блока единиц (0 1), и вычитания, когда встречается конец блока единиц (1 0). Схема работает в том числе и для отрицательного множителя. Когда единицы в множителе сгруппированы в длинные блоки, алгоритм Бута выполняет меньше сложений и вычитаний, чем обычный алгоритм умножения.

• Radix-4 Booth Encoding
• Radix-8 Booth Encoding in A Formal Theory of RTL and Computer Arithmetic
• Booth’s Algorithm
• Booth’s Algorithm JavaScript Simulator
• Booth Multiplier Implementation in Verilog

1. Оригинальная статья Booth’s multiplication algorithm
2. Andrew D. Booth. A signed binary multiplication technique. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, Volume IV, Pt. 2
3. Collin, Andrew. Andrew Booth’s Computers at Birkbeck College. Resurrection, Issue 5, Spring 1993. London: Computer Conservation Society.
4. Patterson, David and John Hennessy. Computer Organization and Design: The Hardware/Software Interface, Second Edition. ISBN 1-55860-428-6. San Francisco, California: Morgan Kaufmann Publishers. 1998.
5. Stallings, William. Computer Organization and Architecture: Designing for performance, Fifth Edition. ISBN 0-13-081294-3. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.. 2000.